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四个常用均值不等式

2026-10-22【天下】

简介均值不等式是数学中重要的工具，常用于证明和优化问题。以下是四个常用的均值不等式：不等式名称表达式适用条件算术平均–几何...

均值不等式是数学中重要的工具，常用于证明和优化问题。以下是四个常用的均值不等式：

不等式名称	表达式	适用条件
算术平均–几何平均不等式	$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$	$a_i > 0$
几何平均–调和平均不等式	$sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n} geq frac{n}{frac{1}{a_1} + cdots + frac{1}{a_n}}$	$a_i > 0$
平方平均–算术平均不等式	$sqrt{frac{a_1^2 + cdots + a_n^2}{n}} geq frac{a_1 + cdots + a_n}{n}$	$a_i$ 为实数
加权均值不等式	$sum_{i=1}^{n} w_i a_i geq prod_{i=1}^{n} a_i^{w_i}$（当权重和为1）	$a_i > 0, w_i > 0$